几何建模中的拓扑结构定义

Kevin J. Weiler, Topological structures for geometric modeing, PHD thesis. RPI. 这是一篇将近四十年前的博士论文，详细介绍了几何建模中使用的拓扑结构。作者还提出了辐射边这种支持非流形的拓扑结构。作者的意图是统一表示框架，曲面，实体等这几种建模方式。根据下图，目前还没有主流的实体建模库采用这种拓扑表示。

这张图来自于这篇论文：Aikaterini Chatzivasileiadi,etc… Characteristics of 3D Solid Modeling Software Libraries for Non-Manifold Modeling。

几何表达方式分类。

如果按照以下三对种标准分类：

• 边界表示(boundary based)，体表示(volume based)
• 对象表示(object based)，空间表示(spatially based)
• 精确表示(evaluated form)，过程表示(unevaluated form)
  

这些表示方法是混合使用的。现代的建模系统会同时使用很多个表示方式。按照这些标准，现有的很多表示方法可以分类如下：

过程表示类：

半空间，八叉树这些都是过程表示方法的代表。而欧拉操作，CSG表示方法则是在建模算法中常用的方法。

精确表示类：

在这个图片中，可以看到两种基于cell的表示方法。在本文开始提到的第二篇论文的作者群体相关的研究中，使用类似的方法研究建筑的空间分类和功能，是非常有用的表示方法。我们也可以看到最常用的边界表示法。

拓扑表达

完整的几何信息模型是可以为各种集合操作提供信息的，但是在实践中很不好用。现有的模式是使用完整几何信息的一个子集来表达几何，为各种集合操作提供支持。而常用的方法，就是建立拓扑，几何表达分离的信息模型。这里的拓扑信息，实际上也是几何信息，主要是表达几何元素之间的关系。这种关系几何是纯粹的关系信息，不涉及几何。而几何信息是拓扑基本元素对应的几何元素信息。这种分离有很大的好处：

• 拓扑，几何具体的实现方式可以在不影响对方的情况下更换。
• 针对拓扑的操作可以简化算法的实现。

而典型的非流形拓扑表示，可以更加完整的表示各种几何建模算法。